¿Qué es tabla de variación?
Una **tabla de variación** es una herramienta visual utilizada en matemáticas, especialmente en cálculo, para analizar el comportamiento de una función en un intervalo dado. Muestra cómo la función cambia a medida que la variable independiente (generalmente 'x') aumenta o disminuye. La tabla típicamente incluye intervalos del dominio de la función, los signos de la primera derivada (f'(x)) y, en algunos casos, la segunda derivada (f''(x)). La primera derivada indica si la función es creciente (f'(x) > 0), decreciente (f'(x) < 0) o constante (f'(x) = 0). Los puntos donde f'(x) = 0 o no existe son puntos críticos, los cuales pueden ser máximos locales, mínimos locales o puntos de inflexión. La segunda derivada indica la concavidad de la función (cóncava hacia arriba o hacia abajo). Al analizar la tabla de variación, podemos determinar el comportamiento global de la función, incluyendo sus máximos, mínimos, intervalos de crecimiento/decrecimiento y concavidad.
Ejemplo Resuelto
Considera la función f(x) = x^2 - 4x + 3. Para construir la tabla de variación, primero calculamos f'(x) = 2x - 4. Luego, encontramos los puntos críticos resolviendo f'(x) = 0, lo cual nos da x = 2. La tabla de variación incluirá los intervalos (-∞, 2) y (2, ∞). En el intervalo (-∞, 2), f'(x) < 0, por lo que la función es decreciente. En el intervalo (2, ∞), f'(x) > 0, por lo que la función es creciente. En x = 2, f(x) tiene un mínimo local.