¿Qué es la derivada?
Dada una función f(x), su derivada f'(x) se define como el límite:
f'(x) = lím(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h
Si ese límite existe, decimos que f es diferenciable en x. El resultado, f'(x), nos dice cuánto cambia la función por cada unidad que cambia x en ese instante exacto.
Reglas básicas de derivación
- ∂Potencia:
d/dx [xⁿ] = n·xⁿ⁻¹ - ∂Constante:
d/dx [c] = 0 - ∂Suma / Resta:
d/dx [f ± g] = f' ± g' - ∂Producto:
d/dx [f·g] = f'·g + f·g' - ∂Cociente:
d/dx [f/g] = (f'·g − f·g') / g² - ∂Cadena:
d/dx [f(g(x))] = f'(g(x))·g'(x)
Ejemplo paso a paso
Deriva f(x) = 3x³ − 2x² + 5x − 7:
- 1Deriva cada término por separado (regla de la suma).
- 2d/dx [3x³] = 9x² (regla de la potencia: 3·3·x²)
- 3d/dx [−2x²] = −4x
- 4d/dx [5x] = 5
- 5d/dx [−7] = 0 (constante)
- 6Resultado: f’(x) = 9x² − 4x + 5